المعادلات

المعادلات






هي تساوي بين تعبيرين، وتستخدم في كل فروع الرياضيات البحتة والتطبيقية وكذا في علوم الأحياء والعلوم الاجتماعية. وعادة ما تحتوي المعادلة على مجهول واحد أو أكثر وهذه المجاهيل يطلق عليها المتغيرات أو الكميات الغير معينة. ومن المعتاد أن يشار إلى هذه المجاهيل بحروف أو رموز أخرى مثل (س). وتوصف المعادلة بأنها ذات متغير واحد أو متغيرين أو ثلاثة أو أكثر حسب عدد المتغيرات التي تحتويها.
ويطلق على المعادلة أنها متحققة أو حقيقية بالنسبة لقيم معينة من المتغيرات عندما يتم استبدال المتغيرات بهذه القيم، فإذا كانت العبارة الموجودة على الجانب الأيسر من علامة التساوي مساوية لتلك العبارة الموجودة على الجانب الأيمن. فعلى سبيل المثال، تكون المعادلة (2 س + 5 = 13) معادلة متحققة عندما تكون (س = 4). ويطلق على حل المعادلة في متغير واحد "جذر المعادلة".
ويعد الخوارزمي من علماء القرنين الثاني والثالث الهجريين / التاسع الميلادي هو أول من يشار إليهم بالبنان في تعريف المعادلة. وإليه ينسب تأسيس علم الجبر. ولقد عرف الخوارزمي جميع عناصر المعادلة الجبرية كما نفهمها اليوم. والجبر عند الخوارزمي يعني نقل الحدود السالبة من مكانها في أحد طرفي المعادلة الجبرية إلى الطرف الآخر، أما المقابلة فتعني حذف الحدود المتشابهة في الطرفين. مثال ذلك المعادلة الجبرية:
س2 + 2س - 5 = س
تصبح بالجبر س2 + 2س = س + 5
وتصبح بالمقابلة س2 + س = 5
ولقد قدم الخوارزمي الأصناف الستة للمعادلات كما يلي:
أ س = ب س، أ س2 = جـ، ب س = جـ
أ س2 + ب س = جـ، أ س2 + جـ = ب س، أ س2 = ب س + جـ
ولقد برهن الخوارزمي على مختلف صيغ الحلول عن طريق تساوي المساحات. ومن أهم المسائل الستة الجبرية التي نسب إليها الخوارزمي كل ما يعمل من حساب جبر ومقابلة هي برهان المعادلة التي عرفت باسمه (معادلة الخوارزمي) وهي على الصورة التالية:
س2 + 10 س = 39
ولقد رسم الخوارزمي مربع (أ ب جـ د) طول ضلعه (س) فتكون مساحته (س2) ثم نصف معامل (س) فصار خمسة ورسم من ذلك الضلعين (د ي) = (ب ف) = (5)، فتكون مساحة المربع (أ ب جـ د) والمستطيلين (د ج هـ ي)، (ب ج ط ف) تبلغ (39). ويبقى إ لى تمام المربع الأكبر مساحة مربعة مقدارها (25). وبذلك تمكن الخوارزمي من حل المعادلة بطريقة إكمال المربع وإضافة (25) إلى طرفي المعادلة فتصبح كما يلي:
س2 + 10 س + 25 = 39 + 25 = 64
وينتج من ذلك أن:
(س + 5)2 = 64 أي أن س + 5 = 8 وتكون س = 3
ولقد جاء الرياضيون المسلمون من بعد الخوارزمي وعملوا على تطوير معادلاته وتعميمها، فقدم عمر الخيام حلا لمعادلة الدرجة الثانية على الصورة:
س2 + ب س = جـ
هو س2 = 4 / 1 ب2 + جـ - 2 / 1 ب
وتبعا لذلك يكون حل معادلة الخوارزمي كما يلي:
س2 = 4 / 1 (100) + 39 - 2 / 1 (10) = 25 + 39 - 5 = 64 - 5 = 3
ولقد جاء الكرجي من بعد الخيام وطور حل المعادلة حتى توصل إلى القانون العام المعروف حاليا لحل المعادلات من الدرجة الثانية.
كما برع عمر الخيام في تصنيف وحل المعادلات ذات الدرجة الثالثة والرابعة. فعالج المعادلات التكعيبية معالجة منهجية منظمة، حل فيها ثلاثة عشر نوعا من المعادلات بطريقة هندسية، واستخرج منها الجذور لكل درجة من هذه الدرجات.
وتوصل إلى نظرية ذات الحدين المرفوعة إلى أس أي عدد صحيح موجب. بينما أكمل الكاشي هذا الابتكار بأن طور خواص معاملاتها إلى أي أس حقيقي كسر أو عدد صحيح أو سالب.
وفي عام 1545م، نشر الرياضي الإيطالي جيرولامو كاردانو حلا جبريا للمعادلات التكعيبية من حيث معاملاتها وقد طور هذا الحل نيكول تارتاجليا. ثم توصل تلميذ كاردانو الذي يسمى لودوفيكو فيراري بالتعاون مع تارتاجليا إلى حل جبري لمعادلات الدرجة الرابعة.
وفي عام 1038هـ / 1629 م، تعرف الرياضي الفرنسي ألبيرت جيرارد على كل من الجذور السالبة والمعقدة للمعادلات ومن ثم كان قادرا على إكمال النظرة الجزئية التي ابتدأها فرانسوا فيتي والمتعلقة بالعلاقة بين جذور المعادلة الجبرية ومعاملاتها.
أما في عام 1044هـ / 1635 م، فقد نشر الفيلسوف والرياضي الفرنسي رينيه ديكارت كتابا حول نظرية المعادلات وقد احتوى هذا الكتاب على قاعدة علامات عدد الجذور الموجبة والسالبة لمعادلة. وبعد مضي عدة عقود، توصل الرياضي والفيزيائي الإنجليزي إسحاق نيوتن إلى طريقة تكرارية لإيجاد جذور المعادلات، وتعرف هذه الطريقة الآن باسم ط ريقة نيوتن- رافسون.
وفي نهاية القرن الثامن عشر، أثبت الرياضي الألماني كارل فريدريش جاوس أن كل معادلة حدودية لها جذر واحد على الأقل. ثم خطا الرياضي والفلكي الفرنسي خطوات فسيحة إلى إعادة ترتيب جذور المعادلة لدراسة حلولها. وقد أدت هذه الفكرة المثمرة من خلال العمل الذي قام به كل من الرياضي الإيطالي باولو روفيني والرياضي النرويجي نيلس أبيل والرياضي الفرنسي جالويس إلى التوصل إلى نظرية كاملة عن الحدوديات أوضحت أنه يمكن حل الحدودية من خلال صيغة جبرية عامة إذا كانت درجات الحدودية تقل عن خمسة. كما كان العمل الذي قام به جالويس قد أجاب على مسألتين مشهورتين ترجعان إلى عصر اليونانيين القدماء: فقد أوضح جالويس بأنه من خلال استخدام فرجار وحرف مستقيم، من المستحيل تقسيم بعض الزوايا إلى ثلاث زوايا متساوية ومن المستحيل رسم مكعب يبلغ حجمه ضعف حجم مكعب معلوم.